111……111是平方数吗？自然数的平方——1的平方，2的平方，3的平方……叫做平方数。要是一根火柴表示数字1，那么，不管用多少根火柴摆成111……111也不可能是平方数，除非只有一根火柴，可以得1=1的平方。为什么呢？

你已经算过：（2n）的平方=4nn；（2n+1）的平方＝4nn+4n+1＝4（nn+n）+1。

这就是说，平方数有这样的特点：偶数的平方除以4 余0，奇数的平方除以4 余1。换句话说，要是一个整数除以4，余数不是0 或者不是1，那它就不是平方数。

我们知道，100，1000，10000，……都是4 的倍数。所以，一个正整数除以4 的余数，就是它的末两位数字所组成的数除以4 的余数。这样，111……111 除以4 的余数，就是11 除以4 的余数，也就是3。根据前面所说，111……111 不是平方数。

同样的道理，22，222，2222，……55，555，5555，……66，666，6666，……99，999，9999，……都不是平方数。

平方数除以4 余0 或者1。可是，除以4 余0 或者1 的自然数，不一定是平方数。例如，33 就不是平方数。33，333，3333，……除以4 都余1，其中有没有平方数，用上面的方法是无法判别的。不过，根据乘法，一个自然数的平方的个位数字是：0×0=0，1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9，4×4＝16，5×5＝25，6×6＝36，7×7=49，8×8＝64，9×9＝81。

也就是平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。所以，33，333，3333，……77，777，7777，……88，888，8888，……都不是平方数。

44，444，4444，……呢？因为平方数与非平方数的积是非平方数，所以，44＝4×11，444=4×111，4444＝4×1111，……都不是平方数。

一个自然数的个位数字，就是它除以10 的余数。所以，上面所用的方法，就是根据一个自然数除以4 或者除以10 的余数，来证明它不是平方数的。

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