数数问题

时间：2020-04-15 15:03:40
分类：数学世界
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数数问题：谁不会数数？这也算个问题？当然罗，人有几个手指，屋子里有几把椅子，这谁也会数。但是也有一些数，不能靠“一、二、三……”这样简单的办法去数。比如中国有十二亿人口，如果一、二、三……这样地数，就算一秒钟数两个，一天二十四小时不停地数，也只能数24×60×60×2=172800个，一年数172800×365=63072000个，也就是六千三百万多一点，十二亿个就要数十五年还不止。在这个时间内，不知有多少人死去，多少人出生，怎么数得清呢？

又比如教室里有多少座位，我们一般不是一个一个地数，而是数数有多少排，每一排有多少个座位，然后用乘法来计算。

有一些数字很大，又只需要一个比较粗略的近似值，这时候，我们就要利用种种的办法进行估计。一本书有多少字？大体上可以用页数乘上每页的行数，再乘上每行的字数来估计。

不过，即使是估计，有时候也需要认真思考，才能找到一个切实可行的好办法。例如，你头上有多少根头发？

据说，人的头发有几十万根之多，当然不可能一根一根地去数。你想用乘法来计算，可是头发不是成行成垅、整整齐齐地排好的。一种切实可行的办法，是测量一下长着头发的皮肤面积有多大，再数一数一个平方厘米的头皮上有多少根头发，这是可以数得清的。当然罗，头上这一平方厘米和那一平方厘米的头发可能不一样多。我们可以仔细观察一下，选有代表性的一个平方厘米。

数头发并不重要，数森林中的树有多少棵，可是一件重要的事。这两个问题十分相似，可以用相同的办法去解决。但是，森林中的树木长得有稀有密，我们根难走遍整个林区，来挑选一块最典型的地方。这怎么办呢？最好的办法是任意挑选若干块地方，分别计算，然后求出平均数来。数学的研究说明，平均数总是更加接近实际。

研究这类问题的数学叫做数理统计。这是现代数学中一个非常活跃的分支。这里用的方法，叫做抽样方法。我们再举一个例子，来说明数理统计的用途。

水库里养了鱼，每年要捕捉一些供应市场需要，爱吃鱼的人很多，最好多捕一些。捕得太多了，剩得就太少，会影响鱼的繁殖，明年就捕不到多少鱼了。为了掌握好捕鱼的数量，就需要知道水库里到底有多少鱼。这个问题看来和上面的问题很相像，其实要困难得多。因为鱼是游来游去的，而我们也不好选出一平方米水面，来数一数下面有多少鱼。

渔业人员想出了一个巧妙的办法，他们捕上一千条鱼，给每条鱼都做上记号，比如在尾巴上剪去一个小角，然后放回水中。鱼儿到了水里就四散游开去。过了几天，这些鱼均匀地散布在水库的各个地方了。渔业人员再捕上一千条鱼，一看，其中有二十条是做过记号的。

他们想，如果水库中共有X条鱼，其中有一千条被我们做过记号，那么，做过记号的鱼占全部X条鱼的几分之几呢？当然是1000/x了。现在捕了一千条鱼，其中有二十条做过记号，也就是说，在这一千条鱼中，有记号的鱼占20/1000＝1/50。这个比和前面那个比的值，大体上应该是一样的。所以X≈50，这样一来，就计算出五万条鱼，今年捕上三四万条，大概没问题吧！这个问题，简直像一个简单的比例问题，其实不然。你也去那里捕一千条鱼，数数有几条是做过记号的，你敢保证也是二十条吗？不敢吧！实际情况必然是这样，每捕一千条鱼，其中做过记号的鱼的数目，不会是一成不变的。比如说，你捕的一千条鱼中有二十五条是做过记号的，你列出的方程就会是：25/1000≈1000/x，算出的结果是X≈40000，比刚才算的少了一万条。

那么，水库里到底有多少鱼呢？数理统计可以帮助我们解决这个问题。它告诉我们，在后捕上来的一千条鱼中有多少条做过记号，数目虽然不是固定的，而是可变的，但是有一定的变化的规律。一旦掌握了这个变化的规律，我们不但可以用比例的办法来估计出水库中的鱼的总数，而且可以掌握这个估计会有多大的误差。数理统计还可以给我们提出一些更好的办法，来帮助我们尽可能地减少这种误差。这样，就在数理统计的基础上，发展出一整套调查动植物资源和研究许多其他问题的方法。（马希文）

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