不可缺少的反证法：从前，有一个既卖矛又卖盾的人。他拿起矛来说：“我的矛十分锐利，什么样的盾都能刺破。”然后，他又拿起盾来说：“我的盾十分坚固，什么样的矛也刺不破。”有人问他：“要是用你的矛来刺你的盾呢？”于是，他陷入矛盾，无法回答。

在数学中，常常利用矛盾来证明一个结论。这种证明的方法，叫做反证法。举一个例子。把自然数的全体1，2，3，……任意地分为两组，一定有一组中有两个数的和是平方数。这就可以用反证法证。

假设上面的结论不成立，那全体自然数能分成这样两组，每一组中任意两个数的和不是平方数。我们把含有1的那一组叫做A组，另一组叫做B组。既然A组中每两个数的和都不是平方数，那3不在A组，因为3＋1＝4。

同样的道理，8（＝9－1）15（＝16－1），24（＝25－1），……也都不在A组。因为3在B组，所以6（＝9－3）在A组。因为15在B组，所以10（＝25－15）在A组。可是，6＋10＝16是平方数，这和A组中任意两个数的和不是平方数矛盾。

这个矛盾说明假设是错的，也就证明了原题的结论成立。

从这个例子可以看出：用反证法来证题，是先假设结论不成立，也就是相反的结论成立；然后设法导出矛盾，得到假设不对，使原来的结论成立。反证法是不可缺少的。这就象进攻一个要塞，在正面攻击难以奏效时，或许从后面突袭是一个好办法。德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法，就象禁止拳击家使用拳头。

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