归纳法之公鸡的智慧：一只公鸡，看见主人走过来撒米给它吃，非常高兴。它希望每天都能吃到米。第二天，主人给它吃米，第三天，主人给它吃米，……第九十九天，主人给它吃米。于是，公鸡认为：主人永远给它吃米。第一百天，公鸡看见主人走过来，以为又有米吃了，可是主人把它捉住杀了。

公鸡用归纳法得出每天都有米吃的结论，显然是不完全的。公鸡的智慧有限，无法达到这样的认识。

在数学里，也常用不完全的归纳法来发现规律。不过，前面已经说过，这样得到的结论，都必须给出严格的证明才能成立。

与自然数n有关的结论，常常采用数学归纳法来证明。数学归纳法又叫做完全归纳法，在不会混淆的时候，可以简称为归纳法。它分为两个部分：一、首先考虑最简单的情况，通常是证明n=1时结论成立。这一步称为奠基。二、其次考虑能不能从前一步推出下面一步。也就是证明：要是结论在n-1时成立，那么结论在n时也成立。这一步称为归纳。
要是这两部分都完成了，那就可由n＝1时结论成立，推出在n＝2时结论成立；由n＝2时结论成立，又推出n＝3时结论成立。这样逐步推下去，可以得出结论对于一切自然数都成立。

数学归纳法的思想在前面已经多次用到过。例如在第三节，我们实际上证明了：按照所说的规则，2n（n≥4）根火柴可以两两合并起来。当时的做法，是先从最简单的情况做起，把八根火柴（n＝4）两两合并起来。这就是奠基。

然后，对十四根火柴，我们曾把它归结为十二根火柴的问题；十二根又归结为十根；十根又归结为八根。这样一步步退到八，也就是由八一步步进到十四。同样，也可以进到四十，或者更一般地进到2n。其中的关键，是把左起第四根火柴与第一根火柴合并。这样，2n根火柴的问题，就化为2（n-1）根火柴的问题了。只要2（n-1）根火柴能够两两合并起来，那2n根火柴也就能两两合并起来。这就是第二部分：归纳。

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